f(x0) > f(x) (punto di massimo)
f(x0) < f(x) (punto di minimo)
Il valore che la funzione assume nei due punti viene definito rispettivamente massimo relativo e minimo relativo della funzione. Quando invece la funzione assume nel punto x0 un valore uguale al proprio limite superiore o inferiore, il punto è detto di massimo assoluto o di minimo assoluto. I punti di m. e m. di una funzione sono detti anche estremi di una funzione. Per la determinazione dei m. e m. si ricorre all'impiego dell'analisi matematica che, al contrario del metodo sperimentale, consente di risolvere il problema con precisione e di individuare i punti estremi per mezzo delle derivate. Nel calcolo infinitesimale, la derivata di una funzione rappresenta la tangente alla curva (ovvero la pendenza, o andamento, della curva). Pertanto, se in un punto x0 la derivata è uguale a 0, ciò significa che la pendenza è nulla e la curva ha raggiunto un massimo o un minimo. Quindi, data una funzione y = f(x) a una variabile, se ne calcola la derivata prima f'(x) e si risolve l'equazione
f'(x) = 0
Se x0 è una delle radici reali dell'equazione, per stabilire se si tratta di un massimo o di un minimo si calcola la varianza della derivata prima in x0 mediante la derivata seconda di f(x), ovvero f"(x). Se f" x0 > 0 la curva è crescente e pertanto si ha un punto di minimo; se f" x0 < 0 la curva è decrescente e si ha un punto di massimo. Se f" x0 = 0 si calcola la derivata terza valutata in x0, f"'(x0). Se f"'(x0) è diversa da 0, il punto x0 non rappresenta né un massimo né un minimo, bensì un flesso; se f"'(x0) = 0, si calcola f""( x0): per valori > 0 il punto x0 è un minimo relativo, per valori < 0 x0 è un punto di massimo relativo. Se f""( x0) = 0 si calcolano le successive derivate fino a fⁿ( x0). Se la prima derivata in x0 che non si annulla è di ordine pari si ha un massimo o un minimo a seconda che essa sia positiva o negativa; se invece è di ordine dispari il punto rappresenta un flesso. ║ Funzioni di 2 o più variabili: nel caso di una funzione a due variabili z = f(x, y) la determinazione dei m. e m. della funzione richiede calcoli più complessi rispetto ai precedenti. Per prima cosa bisogna risolvere il sistema
Se non esistono soluzioni non si hanno m. e m.; se invece x = x0 e y = y0 allora bisogna calcolare il determinante hessiano (H):
Sia H(x0, y0) > 0; se
e quindi
si ha un minimo. Se invece
e quindi
si ha un massimo. Se H(x0, y0) < 0 non si hanno m. e m.; se H(x0, y0) = 0 il ricorso alle derivate parziali del secondo ordine non basta per definire se c'è un estremo e quindi si devono calcolare le derivate di ordine superiore.